摘要
JDK：1.8.0_202
# 一：数据结构与算法的关系
数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中的操作对象，以及它们之间的关系和操作等相关问题的学科。
有了编程语言也就有了数据结构，学好数据结构可以编写出更加漂亮，更加有效率的代码。
学好数据结构，只是为学习算法打好一个基础，并不代表你就能写出一个好的算法。
学以致用
要学习好数据结构，就要多多考虑如何将生活中遇到的问题，用程序去实现解决
程序 = 数据结构 + 算法
数据结构是算法的基础
想要学好算法，就必须要把数据结构学到位
# 二：数据结构
# 2.1 基本概念
数据：是描述客观事物的符号，是计算机中可以操作的对象，是能被计算机识别，并输入给计算机处理的符号集合。
数据元素：是组成数据的、有一定意义的基本单位，在计算机中通常作为整体处理。也被称为记录。
数据项：一个数据元素可以由若干个数据项组成。是数据不可分割的最小单位。
数据对象：是薪资相同的数据元素的集合，是数据的子集。
例如：
| 数 据 | 数据元素 | 数据项 |
|---|---|---|
| 人类 | 个人 | 眼、耳、鼻 |
| 电影 | 角色 | 角色的姓名和年龄 |
# 2.2 结构
按照视点的不同，把数据结构分为逻辑结构和物理结构。
逻辑结构：是指数据对象中数据元素之间的相互关系。
集合结构：集合结构中的数据元素除了同属于一个集合外，它们之间没有其他关系。
线性结构：线性结构中数据元素之间是一对一的关系。
树形结构：树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系。
图形结构：图形结构的数据元素是多对多的关系。
物理结构：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。
顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的。
链式存储结构：是把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。
逻辑结构是面向问题的，而物理结构就是面向计算机的，其基本的目标就是将数据及其逻辑关系存储到计算机的内存中。
# 三：算法
算法：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
# 3.1 特性
算法具有五个基本特性：
输入：算法具有零个或多个输入；
输出：算法至少有一个或多个输出；
有穷性：指算法在执行有限步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成；
确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
# 3.2 算法设计的要求
正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。
可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
时间效率高和存储量低：好的算法应该具备时间效率高和存储量低的特点。
# 3.3 算法效率的度量方法
事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运算时间进行比较，从而确定算法效率的高低。这种方法具有很大缺陷：
- 必须依据算法事先编制好程序；
- 时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优劣；
- 算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系。
事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。计算机程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下面因素：
- 算法采用的策略、方法；
- 编译产生的代码质量；
- 问题的输入规模；
- 机器执行指令的速度。
# 3.4 函数的渐近增长
例子一：
假设两个算法的输入规模都是n，算法A要做 2n+3 次操作，可以理解为先有一个 n 次的循环，执行完之后有一个 n 次循环，最后有三次赋值或运算，共 2n + 3 次操作。算法B要做 3n+1 次操作。问谁更快？
| 次 数 | 算法A(2n+3) | 算法A'(2n) | 算法B(3n+1) | 算法B'(3n) |
|---|---|---|---|---|
| n = 1 | 5 | 2 | 4 | 3 |
| n = 2 | 7 | 4 | 7 | 6 |
| n = 3 | 9 | 6 | 10 | 9 |
| n = 10 | 23 | 20 | 31 | 30 |
| n = 100 | 203 | 200 | 301 | 300 |
当 n > 2 时，算法A就开始优于算法B了，随着n的增加，算法A比算法B越来越好了（执行的次数比B要少）。于是乎可以得出结论，算法A总体上要好过算法B。
此时可以给出这样的定义，输入规模 n 在没有限制的情况下，只要超过一个数值 N，这个函数就总是大于另一个函数，称函数是渐近增长的。
函数的渐近增长：给定两个函数 f(n) 和 g(n)，如果存在一个整数 N，使得对于所有的 n > N，f(n) 总是比 g(n) 大，那么，可以说 f(n) 的增长渐进快于 g(n)
从上面也可以发现，随着n的增大，后面 +3 还是 +1 其实都不影响最终的算法变化的，例如算法A' 和算法B'，所以 可以忽略这些加法常数。
例子二：
| 次 数 | 算法C(4n+8) | 算法C'(n) | 算法D(2n2+1) | 算法D'(n2) |
|---|---|---|---|---|
| n = 1 | 12 | 1 | 3 | 1 |
| n = 2 | 16 | 2 | 9 | 4 |
| n = 3 | 20 | 3 | 19 | 9 |
| n = 10 | 48 | 10 | 201 | 100 |
| n = 100 | 408 | 100 | 20 001 | 10 000 |
| n = 1000 | 4 008 | 1 000 | 2 000 001 | 1 000 000 |
通过观察可以发现，与最高次项相乘的常数并不重要。
例子三：
| 次 数 | 算法E(2n2+3n+1) | 算法E'(n2) | 算法F(2n3+3n+1) | 算法F'(n3) |
|---|---|---|---|---|
| n = 1 | 6 | 1 | 6 | 1 |
| n = 2 | 15 | 4 | 23 | 8 |
| n = 3 | 28 | 9 | 64 | 27 |
| n = 10 | 231 | 100 | 2 031 | 1 000 |
| n = 100 | 20 301 | 10 000 | 2 000 301 | 1 000 000 |
通过观察可以发现，最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。
例子四：
| 次 数 | 算法G(22) | 算法H'(3n+1) | 算法I(2n2+3n+1) |
|---|---|---|---|
| n = 1 | 2 | 4 | 6 |
| n = 2 | 8 | 7 | 15 |
| n = 5 | 50 | 16 | 66 |
| n = 10 | 200 | 31 | 231 |
| n = 100 | 20 000 | 301 | 20 301 |
| n = 1 000 | 2 000 000 | 3 001 | 2 003 001 |
| n = 10 000 | 200 000 000 | 30 001 | 200 030 001 |
| n = 100 000 | 20 000 000 000 | 300 001 | 20 000 300 001 |
| n = 1 000 000 | 2 000 000 000 000 | 3 000 001 | 2 000 003 000 001 |
随着n值变得非常大以后，算法G 其实已经很趋近于算法I。于是乎可以得到这样一个结论，判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。
# 3.5 算法时间复杂度
在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中 f(n) 是时间规模 n 的某个函数。
这样用大写 O() 来体现算法时间复杂度的记法，称之为 大O记法。
一般情况下，随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为 最优算法。
推导大O阶方法：
- 用常数1取代运行时间中所有加法常数；
- 在修改后的运算次数函数中，只保留最高阶项；
- 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
常数阶
int sum = 0, n = 100; // 执行一次
sum = (1+n) * n/2; // 执行一次
System.out.println(sum); // 执行一次
2
3
这个算法的运行次数函数是 f(n) = 3，根据大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为 O(1)。
线性阶
要确定某个算法的阶次，常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，要分析算法的复杂度、关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面代码，它的循环时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行 n 次。
int i;
for(i = 0; i < n; i++) {
// 时间复杂度为 O(1) 的程序步骤序列
}
2
3
4
对数阶
int count = 1;
while (count < n) {
count = count * 2
// 时间复杂度为 O(1) 的程序步骤序列
}
2
3
4
5
由于每次count乘2之后，就距离n更近一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由 2x = n 得到 x = log2n。所以这个循环的时间复杂度为 O(logn)
平方阶
下面例子是一个循环嵌套，它的内循环为上面例子，时间复杂度为 O(n)
int i,j;
for (i = 0; i < n; i++) {
for(j = 0; j < n; j++) {
// 时间复杂度为 O(1) 的程序步骤序列
}
}
2
3
4
5
6
而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为 O(n) 的语句，再循环 n 次。所以这段代码的时间复杂度为 O(n2)，如果外循环的循环次数改为了 m，时间复杂度就变为 O(m X n)。所以循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
常见的时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| 12 | O(1) | 常数阶 |
| 2n+3 | O(n) | 线性阶 |
| 3n2 + 2n + 1 | O(n2) | 平方阶 |
| 5log2n + 20 | O(logn) | 对数阶 |
| 2n + 3nlog2n + 19 | O(nlogn) | nlogn阶 |
| 6n3 + 2n2 + 3n + 4 | O(n3) | 立方阶 |
| 2n | O(2n) | 指数阶 |
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)
# 3.6 算法空间复杂度
写代码时，完全可以用空间来换取时间。
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n) 为语句关于 n 所占用存储空间的函数。
# 四：体系
